Mathématique
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ItemRésolution des équations différentielles fractionnaires(Université Chadli Bendjedid El-Tarf, 2022)Résumé Dans ce travail, on s intéresse par la question d existence et d unicité de la solution pour le problème de Cauchy d une équation di¤érentielle fractionnaire au sens de Caputo suivant : 8>< >: CD y(x) = f(x; y(x)); x 2 [0; T] ; 1 < 2 y(0) = y0; y0(0) = y1 où CD est l opérateur de dérivation fractionnaire de Caputo, f(:; y) : [0; T] I ! R une fonction continue par rapport à x 2 [0; T], pour tout y 2 I R. Abstract In this work, we are interested in the question of existence and uniqueness of the solution for a Cauchy problem of a fractional di¤erential equation in the sense of Caputo as follows : 8>< >: CD y(x) = f(x; y(x)); x 2 [0; T] ; 1 < 2 y(0) = y0; y0(0) = y1 where CD is the Caputo fractional derivative operator, f(:; y) : [0; T] I ! R a continous function with respect to x 2 [0; T], for all y 2 I R. ملخص: في ھذا العمل قمنا بدراسة وجود ووحدانیة الحل لمعادلة تفاضلیة ذات مشتقات كسریة ذات
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ItemExistence et non existence de valeur propre principale du problème aux limites elliptique(Université Chadli Bendjedid El-Tarf, 2022)RÉSUMÉ Nous considérons le problème elliptique suivant : Au = Bu; dans Rn; n 3 Nous commençons par examiner le cas de l’opérateur de Schrödinger A := Δ+ q ; et B est l’opérateur de multiplication par une fonction g qui décroit ”assez vite” à l’infini. Une première étape consiste à choisir le potentiel q dans des espaces appropriés. A cette fin, nous appliquons le Théorème de Weinberger pour montrer l’existence d’un spectre discret ; les valeurs propres sont caractérisées par le principe du Min-Max. Avec le choix judicieux du potentiel q, parfois le problème admet deux valeurs propres principales une positive et l’autre négative, et parfois le problème n’admet pas de valeur propre principale. ABSTRACT We consider the following elliptic problem : Au = Bu; dans Rn; n 3 First, we examine the case of Schrödinger operation A := Δ + q, and B is the operator of multiplication by a function g which decreases rapidly at infinity. In the first stage, we choose the potential q in appropriate spaces. To this end, we apply the Weinberger’s Theorem to show the existence of a discrete spectrum, the eigenvalues are characterized by formula Min-Max’s principal. By the judicious choice of the potential q, sometines the problem admits two principal eigenvalues one positive and the other is negative, and sometines the problem does not admet a principal eigenvalue. ملخص نعتبر المعادلة الإهليجية التالية : n ≥ 3 Rn في Au = λBu متناقصة g مؤثر ضربي بدالة B هو مؤثر شرودينقر و A = −Δ+q نبدأ بفحصحالة أين بسرعة بجوار المالانهاية. في فضاءاتخاصة، لهذه الغاية، نطبق نظر ية q ٺتكون المرحلة الأولى من إختيار الكمون .Min-Max لنبين وجود طيف متقطع، القيم الذاتية تتميز بمبدأ Weinberger في بعضالأحيان المسألة تقبل قيمتين رئيسيتين، ،q وفقا للإختيار الحكيم والدقيق للكمون احداهما موجبة والأخرى سالبة، وفي بعضالأحيان المسألة لا تقبل قيمة ذاتية رئيسية.
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ItemAnalyse foctionnelle et Calcul stochastique(Université Chadli Bendjedid El-Tarf, 2022)Résumé Dans ce travail, nous considérons le système de Timoshenko suivant : 8>>>>>>>>>>< >>>>>>>>>>: 'tt ('x + ) = 0; dans[0; 1] R+; tt xx + ('x + ) + (t) t = 0; dans [0; 1] R+; ' (0; t) = ' (1; t) = (0; t) = (1; t) = 0; t 2 R+; ' (x; 0) = '0 (x) ; 't (x; 0) = '1 (x) ; (x; 0) = 0 (x) ; t (x; 0) = 1 (x) ; x 2 [0; 1] : Nous montrons, que ce système est exponentiellement stable : c est à dire 9 C;w 0 = E (t) Cewt ; 8t 0: où E : R+ ! R+ est l énergie du système. La méthode de la démonstration est basée sur la méthode des multiplicateurs et quelque inégalités. Abstract In this work, we consider the following Timoshenko system : 8>>>>>>>>>>< >>>>>>>>>>: 'tt ('x + ) = 0; dans[0; 1] R+; tt xx + ('x + ) + (t) t = 0; dans [0; 1] R+; ' (0; t) = ' (1; t) = (0; t) = (1; t) = 0; t 2 R+; ' (x; 0) = '0 (x) ; 't (x; 0) = '1 (x) ; (x; 0) = 0 (x) ; t (x; 0) = 1 (x) ; x 2 [0; 1] : We establish that, this system is exponentially stable : that is 9 C;w 0 = E (t) Cewt; 8t 0: where E : R+ ! R+ is the energy of system. The method of proof is based on the multiplier method and some inequalities.
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ItemExistence et unicité de la solution d’un système d’équations différentielles(Université Chadli Bendjedid El-Tarf, 2022)Résumé L objectifprincipaledecetravailestd apprendrelesprincipesdebaseducalcul fractionnaireetensuited étudierunsystèmed équationsdi¤érentiellesfractionnaires à retardsconstants.Enutilisantlesthéorèmesdepoints xes,telsquesousetsur solution,leprincipdecontractiondeBanach,nousprouvonsl existenceetl unicité d unesolutionpositiveetglobale. Abstract Themainobjectiveofthisworkistounderstandthebasicprinciplesoffractional calculsandthentostudyasystemoffractionaldi¤erentialequationswithconstant delays.Usingthe xedpointtheorems,suchastheloweranduppersolutions,Ba- nachcontractionprinciple,weprovetheexistenceanduniquenessofglobalpositive solution. ملخص 6 La traduction est trop longue pour être enregistrée الهدف الرئيسي من هذا العمل هو تعلم المبادئ الأساسية لحساب التفاضل والتكامل الكسري ثم دراسة نظام من المعادلات التفاضلية الكسرية مع تأخيرات ثابتة. باستخدام نظريات النقطة الصامدة، مثل الحل السفلي والعلوي، مبدأ الانكماش من باناخ، نثبت وجود ووحدانية الحل الاياابي والشامل.
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ItemNouveaux résultats d’existence de solution positive pour une classe d’équations différentielle fractionnaire non linéaires.(Université Chadli Bendjedid El-Tarf, 2022)Résumé Il est remarquable ces dernières années que le domaine du calcul partiel ait fait l’objet de nombreuses recherches par de nombreux mathématiciens, du fait de son efficacité à décrire des phénomènes physiques tels que la rhéologie, la viscoélasticité, l’électrochimie,...,etc. Dans ce mémoire, nous donnons une introduction au calcul fractionnaire puis étudions un problème fractionnaire et établir quelques résultats d’existence, alors que notre analyse est basée sur la méthode du point fixe et et spécialement la méthode des sous et sur solutions basé sur théorème du point fixe de Schauder. Abstract It is remarkable in recent years that the field of fractional calculus has been the subject of much research by many mathematicians, because of its effectiveness in describing physical phenomena such as rheology, viscoelasticity, electrochemistry,... ,etc. In this note, we give an introduction to fractional calculus then study a fractional problem and establish some existence results, while our analysis is based on the fixed point method and especially the method of upper un lower solutions based on the theorem of Schauder fixed point theorem. ملخص من اللافت للنظر في السنوات الأخيرة أن مجال حساب التفاضل والتكامل الكسري يعتبر موضو ع ا تدار حوله الكثير من الأبحاث من قبل العديد من علماء الرياضيات ، نظ را لفعاليته في وصف الظواهر الفيزيائية مثل الريولوجيا ، واللزوجة المرنة ، والكيمياء الكهربية ،...، إلخ في هذه العمل المتواضع ، نعطي مقدمة لحساب التفاضل والتكامل الكسري ثم ندرس مشكلة ابتدائية تحكمها معادلات تفاضلية كسرية. يعتمد تحليلنا على نظرية النقطة الصامدة وخاصة طريقة التحت و الفوق حل.