Mesure périodique pour l'équation stochastique d'un gaz visqueux barotropique dans un domaine discrétisé

Abstract

L'équation stochastique d'un gaz visqueux barotropique en une dimen sion est considérée. L'application de la formule d'Ito à une fonctionnelle convenablement choisie nous permet d'étudier le comportement de la solu tion à savoir l'obtention de l'estimation de l'énergie. Cette estimation ne nous permet pas de démontrer la stabilité du système. Pour cette raison, nous passons à étudier la stabilité d'un système d'équations périodiques approchées. Plus précisément, nous démontrons l'existence d'une mesure périodique pour un système discrétisé avec une régularisation de la den sité. L'étude se base sur des résultats du théorème de Khas'minskii [15] qui consistent à la construction de la solution des équations di érentielles sto chastiques ainsi que la démonstration d'une solution stationnaire périodique.

We consider the stochastic equation of a viscous barotropic gas in one dimension. By applying Ito's formula to a suitably chosen functional, we can study the solution's behavior and obtain an energy estimate. However, this estimate alone cannot prove the stability of the system. To address this, we study an approximate periodic equations and prove the existence of a periodic measure for a discretized problem with the regularization of the density. This study is based on Khas'minskii's theorem [15], which allows us to prove the existence and uniqueness of a solution for stochastic di erential equations and a periodic stationary solution نحن ندرس المعادلة العشوائية لغاز لزج باروتروبي في بعد واحد. من خلال تطبيق صيغة إيتو على دالة مناسبة، يمكننا دراسة سلوك الحل والحصول على تقدير للطاقة. ومع ذلك، فإن هذا التقدير وحده لا يمكن أن يثبت استقرار النظام. لمعالجة هذا، ندرس معادلات دورية تقريبية ونثبت وجود مقياس دوري لمشكلة منقّطة مع تنظيم الكثافة. تستند هذه الدراسة إلى نظرية خاصمنسكي [15]، التي تسمح لنا بإثبات وجود وحيدية الحل للمعادلات التفاضلية العشوائية وحل دوري ثابت.