Existence et non existence de valeur propre principale du problème aux limites elliptique

Abstract

RÉSUMÉ Nous considérons le problème elliptique suivant : Au = Bu; dans Rn; n 3 Nous commençons par examiner le cas de l’opérateur de Schrödinger A := 􀀀Δ+ q ; et B est l’opérateur de multiplication par une fonction g qui décroit ”assez vite” à l’infini. Une première étape consiste à choisir le potentiel q dans des espaces appropriés. A cette fin, nous appliquons le Théorème de Weinberger pour montrer l’existence d’un spectre discret ; les valeurs propres sont caractérisées par le principe du Min-Max. Avec le choix judicieux du potentiel q, parfois le problème admet deux valeurs propres principales une positive et l’autre négative, et parfois le problème n’admet pas de valeur propre principale. ABSTRACT We consider the following elliptic problem : Au = Bu; dans Rn; n 3 First, we examine the case of Schrödinger operation A := Δ + q, and B is the operator of multiplication by a function g which decreases rapidly at infinity. In the first stage, we choose the potential q in appropriate spaces. To this end, we apply the Weinberger’s Theorem to show the existence of a discrete spectrum, the eigenvalues are characterized by formula Min-Max’s principal. By the judicious choice of the potential q, sometines the problem admits two principal eigenvalues one positive and the other is negative, and sometines the problem does not admet a principal eigenvalue. ملخص نعتبر المعادلة الإهليجية التالية : n ≥ 3 Rn في Au = λBu متناقصة g مؤثر ضربي بدالة B هو مؤثر شرودينقر و A = −Δ+q نبدأ بفحصحالة أين بسرعة بجوار المالانهاية. في فضاءاتخاصة، لهذه الغاية، نطبق نظر ية q ٺتكون المرحلة الأولى من إختيار الكمون .Min-Max لنبين وجود طيف متقطع، القيم الذاتية تتميز بمبدأ Weinberger في بعضالأحيان المسألة تقبل قيمتين رئيسيتين، ،q وفقا للإختيار الحكيم والدقيق للكمون احداهما موجبة والأخرى سالبة، وفي بعضالأحيان المسألة لا تقبل قيمة ذاتية رئيسية.