Etude analytique de l’application de l’équation de la chaleur au modèle de Black-Sholes

Abstract

Dans ce travail, nous allons étudier un modèle d’équation aux dérivées par tielles (EDP) très connu en physique sous le nom ‘’l’équation de la chaleur”. Cette dernière joue un rôle crucial au niveau du marché financier notamment dans la formulation du modèle de Black-Scholes. Le qui a été étudié par Black-Scholes (1973) était l’évaluation et d’une option de type Européen (Call ou Put) : le prix de l’option est intégré dans une équation différentielle stochastique (EDS), cette équation est utilisée pour l’extraction de l’EDP de Black-Sholes et le transformé en forme de l’équation de la chaleur pour facile à résoudre. En somme, nous obtenons une équation mathématique pour évaluer l’option d’achat (Call Européenne), en utilisant la relation entre le prix d’un Call et celui d’un Put .Nous pouvons aussi évaluer l’option de vente (Put Européenne). Mots clés : EDS, EDP, Black-Scholes, Équation de la chaleur, Transformée de Fourier, Op tions. In this work, we have studied a well known partial differential equation model in physics, the heat equation. It plays an important role in the financial market, especially in the formulation of the Black-Scholes model. The problem addressed by Black and Scholes in 1973 was evaluating the pricing of the European option : The option price is modelled by a differential equation, which is used to extract the Black-Scholes partial differential equation and then convert it into a heat equation to be easily solved. Finally, we obtain a mathematical equation to value the European Call option, and using the relationship between the Call option and the Put option, in which the latter can be valued

في هذا العمل، درسنا نموذج معادلة تفاضلية جزئية معروف في الفيزياء، وهو معادلة الحرارة. تلعب دورًا مهمًا في السوق المالية، خاصة في صياغة نموذج بلاك-شولز.كانت المشكلة التي تناولها بلاك وشولز في عام 1973 هي تقييم تسعير الخيار الأوروبي: يتم نمذجة سعر الخيار بواسطة معادلة تفاضلية، والتي تُستخدم لاستخراج معادلة بلاك-شولز التفاضلية الجزئية ثم تحويلها إلى معادلة حرارة ليتم حلها بسهولة.أخيرًا، نحصل على معادلة رياضية لتقييم خيار الشراء الأوروبي، ومع استخدام العلاقة بين خيار الشراء وخيار البيع، حيث يمكن تقييم الأخير.