Mesure invariante pour l’équation stochastique d’un gaz visqueux barotropique en dimension spatiale dans un domine discrétisé

Abstract

Dans ce travail, nous nous int´ eressons ` a l’´ equation stochastique qui d´ ecrit le mouvement d’un gaz visqueux barotropique en une dimension spatiale. L’application de la formule d’Itˆ o ` a une fonctionnelle convenablement choisie nous permet d’analyser le comporte ment de la solution ` a savoir l’obtention de l’estimation de l’´ energie. Malgr´ e l’´ el´ egance de cette estimation, malheureusement, elle ne nous permet pas de d´ emontrer l’existence d’une mesure invariante ` a cause de la non r´ egularit´ e des espaces fonctionnels. Pour cela, nous avons ´ etudi´ e un probl` eme approch´ e. Plus pr´ ecisememnt, un probl` eme discr´ etis´ e avec la r´ egularisation de la densit´ e. Nous avons d´ emontr´ e l’existence et l’unicit´ e de la so lution,ainsi, nous avons appliqu´ e le th´ eor` eme de Has’minskii [16] pour d´ emontrer l’exis tence d’une mesure invariante. In this work, we are interested in the stochastic equation that describes the motion of a viscous barotropic gas in one spatial dimension. The application of the Itˆ o formula to a suitably chosen functional allows us to analyze the behavior of the solution (the energy estimate). Despite the elegance of this estimate, unfortunately, it does not allow us to demonstrate the existence of an invariant measure because the lack of the regularity of the functional spaces. For this reason, we have studied an approximate problem. More precisely, a discretized problem with density regularization. We proved the existence and the uniqueness of the solution and by applying Has’minski’s theorem [16], we prove the existence of an invariant measure. في هذا العمل، نحن مهتمون بالمعادلة العشوائية التي تصف حركة غاز باروتروبي لزج في بعد مكاني واحد. تطبيق صيغة إيتو على دالة مختارة بشكل مناسب يسمح لنا بتحليل سلوك الحل (تقدير الطاقة). على الرغم من أناقة هذا التقدير، إلا أنه للأسف لا يمكننا من إثبات وجود مقياس ثابت بسبب نقص انتظام فضاءات الدوال. لهذا السبب، قمنا بدراسة مشكلة تقريبية. وبشكل أكثر دقة، مشكلة مفرّقة مع تنظيم الكثافة. لقد أثبتنا وجود الحل وتفرديته وباستخدام مبرهنة هاسمينسكي [16]، نثبت وجود مقياس ثابت.