Solution d'un problème aux valeurs propres engendré par l'opérateur p(x)-Laplacien

Abstract

Résumé Dans ce travail, nous étudions le problème aux limites : 8< : 􀀀div((jOujp1(x)􀀀2 + jOujp2(x)􀀀2)Ou) = f(x; u) dans

u = 0 dans @

où est un ouvert borné de RN , N 2 N : Et f est définie par : f(x; u) = f = (􀀀 j u jm(x)􀀀2 u+ j u jq(x)􀀀2 u) , telle que : m(x) := maxfp1(x); p2(x)g < q(x) < N:m(x) N 􀀀 m(x) , 8x 2 . Dans le premier chapitre, nous montrons l’existence d’une infinité de solutions faibles pour tout > 0. Dans le deuxième chapitre, nous prouvons que si est suffisamment grand, alors il existe une solution faible non triviale du problème (3.1). Notre approche utilisée pour démontrer les deux cas précédents, est la théorie des espaces de Lebesgue-Sobolev à exposent variable, combinée avec la version Z2- symétrique pour les fonctionnelles impliquant le théorème du Col et une méthode variationnelles adéquate. Résumé In this travel we study the boundary value problem: 8< : 􀀀div((jOujp1(x)􀀀2 + jOujp2(x)􀀀2)Ou) = f(x; u) in

u = 0 on @

where is a smooth bounded domain in RN , N 2 N . We focus on the cases when: f(x; u) = f = (􀀀 j u jm(x)􀀀2 u+ j u jq(x)􀀀2 u), where : m(x) := maxfp1(x); p2(x)g < q(x) < N:m(x) N 􀀀 m(x) , 8x 2

In the first chapter, we show the existence of infinitely many weak solutions for any > 0. In the second chapter, we prove that if is large enough then there exists a nontrivial weak solution. Our approache relies on the variable exponent theory of generalized Lebesgue- Sobolev spaces, combined with a Z2-symmetric version for even functionals of the Mountain Pass Lemmma and some adequate variational methods.