Résolution numérique de l’équation de chaleur –application en finance-

Abstract

Ce mémoire présente une application en finance d’un type particulier d’équa tions aux dérivées partielles utilisé généralement en physique théorique. Il s’agit de l’équation de la chaleur. Cette dernière est intéressante puisque l’on connait sa solution explicite ce qui n’est pas toujours le cas pour un grand nombre d’équa tions aux dérivées partielles. Le but principal de ce travail est de mettre en exergue le lien entre le modèle de Black-Scholes et l’équation de la chaleur puis de développer les méthodes numé riques permettant de calculer les prix des options financières. Ce travail comprend d’abord une introduction aux mathématiques financières et calcul stochastique. Puis une présentation du modèle de Black-Scholes et les démarches mathéma تقدم هذه الرسالة تطبيقًا في مجال التمويل لنوع معين من المعادلات التفاضلية الجزئية المستخدمة بشكل عام في الفيزياء النظرية. هذه هي معادلة الحرارة. وتُعد هذه الأخيرة مثيرة للاهتمام لأننا نعرف حلها الصريح، وهو ما لا ينطبق دائمًا على عدد كبير من المعادلات التفاضلية الجزئية. الهدف الرئيسي من هذا العمل هو تسليط الضوء على العلاقة بين نموذج بلاك-سكولز ومعادلة الحرارة، ثم تطوير طرق عددية لحساب أسعار الخيارات المالية. يشمل هذا العمل أولاً مقدمة في الرياضيات المالية وحسابات الاحتمالات العشوائية، ثم عرضًا لنموذج بلاك-سكولز والخطوات الرياضية لتحويل المعادلة التفاضلية الجزئية لبلاك-سكولز إلى معادلة الحرارة. وأخيرًا، نهتم في حل معادلة بلاك-سكولز من خلال الحل العددي لمعادلة الحرارة، والتي هي أبسط بالفعل، ومن الممكن الانتقال من إحداها إلى الأخرى عبر تبديل المتغيرات والتقطيع العددي لمجال الدراسة. tiques de conversion de l’EDP de Black-Scholes à l’équation de la chaleur. Enfin, nous nous intéressons à la résolution de l’équation de Black-Scholes par la ré solution numérique de l’équation de la chaleur qui est en effet plus simple et il est possible de se ramener de l’une à l’autre par des changements de variable et une discrétisation du domaine d’étude choisi par la méthode des différences finies.

This thesis presents an application in finance of a particular type of partial differential equations generally used in theoretical physics. This is the heat equa tion. The latter is interesting since we know its explicit solution, which is not always the case for a large number of partial differential equations. The main purpose of this work is to highlight the link between the Black Scholes model and the heat equation and then to develop numerical methods for calculating the prices of financial options. This work first includes an introduc tion to financial mathematics and stochastic calculus. Then a presentation of the Black-Scholes model and the mathematical steps for converting the Black-Scholes PDEtotheheat equation. Finally, we are interested in the resolution of the Black Scholes equation by the numerical resolution of the heat equation which is indeed simpler and it is possible to reduce from one to the other by changes of variable and a discretization of the field of study chosen by the method of finite differences